Fiche mémo & méthodologie Arithmétique — Maths expertes

Auteur : Alaeddine Ben Rhouma — Lycée Pierre Mendès France, Tunis • © Propriété intellectuelle

Sommaire (impression)

  1. Résumé du chapitre
  2. Propriétés P1→P7 — utilité & pièges
  3. Méthodologie par type d’exercice
  4. Checklist avant de rendre
  5. Mini‑entraînements éclair
  6. Erreurs fréquentes

Résumé du chapitre

Divisibilité. Pour $a,b\in\Z$ ($b\ne0$), $b\mid a \iff \exists k\in\Z,\ a=bk$. Ensembles : $a\Z=\{ak:k\in\Z\}$ ; $D(n)$ : diviseurs de $n$.

Division euclidienne. $\forall a\in\Z,\ \forall b\in\N^*$, $\exists!\,(q,r)\in\Z^2$ : $a=bq+r$ avec $0\le r<b$.

Lemme des restes. $\forall b\ge2$, tout entier est $bq,\,bq+1,\dots,\,bq+(b-1)$.

Congruences. $a\equiv b\pmod{n} \iff n\mid(a-b)$ ; opérations compatibles : $+$, $\times$, puissances.

À retenir : Euclide (pgcd) + congruences = outils pour prouver, factoriser, et résoudre $ax\equiv b\pmod{n}$.

Propriétés P1→P7 — utilité & pièges

P1 — Si $b\mid a$ alors $a\Z\subset b\Z$ et $D(b)\subset D(a)$
Utilité
Comparer des ensembles de multiples/diviseurs et prouver des inclusions rapidement.
Astuce
Partir de $a=bk$ puis multiplier par un entier quelconque $m$ : $am=b(km)$.
Mini‑preuve
1
$a=bk \Rightarrow am=b(km)$ $\forall m$ ⇒ $a\Z\subset b\Z$.
2
$d\in D(b)$ ⇒ $d\mid b$ et $b\mid a$ ⇒ (transitivité) $d\mid a$ ⇒ $d\in D(a)$.
P2 — Invariance par changement de signe
Utilité
Travailler avec des nombres positifs sans changer la divisibilité.
Mini‑preuve
$a=bk \Rightarrow a=(-b)(-k)$ et $-a=b(-k)$.
P3 — Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs
Utilité
Justifier des raisonnements par exhaustion finie (liste de diviseurs).
Mini‑preuve
Si $d\mid n$ alors $|d|\le|n|$ ⇒ bornes ⇒ ensemble fini.
P4 — Transitivité & combinaisons linéaires
Utilité
Prouver des divisibilités composées et former des combinaisons $ub+vc$ multiples de $a$.
Mini‑preuve
(i)
$b=ak_1, c=bk_2$ ⇒ $c=a(k_1k_2)$.
(ii)
$b=a\beta, c=a\gamma$ ⇒ $ub+vc=a(u\beta+v\gamma)$.
P5 — Lemme des restes
Utilité
Passer en classes de restes (mod $b$) pour raisonner par cas.
Exemple
Ex
Montrer $n^2+1\not\equiv 0\pmod{3}$ ⇒ $n\equiv 0,1,2$ ⇒ $n^2\equiv 0,1$ ⇒ $n^2+1\equiv 1,2$.
P6 — Même reste $\Leftrightarrow$ congruence
Utilité
Traduire « même reste » en écriture modulaire et vice‑versa.
Formule
$a\equiv b\pmod{n} \iff a=b+kn$ pour un $k\in\Z$.
P7 — Règles de calcul en congruences
Utilité
Simplifier des expressions : addition, produit, puissance OK ; division ⚠️ non admise en général.
Piège
De $5\cdot4\equiv5\cdot6\pmod{10}$ on ne peut pas conclure $4\equiv6\pmod{10}$.

Méthodologie par type d’exercice

A. Tester une divisibilité ($b\mid a$ ?)
1
Essayer d’écrire $a=bk$ (calculer $k=a/b$ ; vérifier qu’il est entier).
2
Sinon, faire la division euclidienne : $a=bq+r$ ; si $r=0$ ⇒ $b\mid a$.
3
Utiliser P4 pour combiner des divisibilités déjà connues.
Exemple corrigé
Ex
Montrer que $12\mid 3\cdot 4\cdot 10 - 2\cdot 6$. On a $12\mid 3\cdot4\cdot10$ et $12\mid 2\cdot6$ ⇒ par P4(ii), la différence est multiple de 12.
B. Effectuer une division euclidienne ($a=bq+r$)
1
Calculer $q=\lfloor a/b\rfloor$, puis $r=a-bq $ en imposant $0 \le r< b$.
2
Pour le pgcd, appliquer Euclide : réitérer $x=yq+r$ jusqu’à $r=0$.
Exemple corrigé
Ex
$114=8\cdot14+2$, $8=2\cdot4+0$ ⇒ $\operatorname{pgcd}(114,8)=2$.
C. Résoudre $ax\equiv b\pmod{n}$
1
Poser $g=\operatorname{pgcd}(a,n)$. Si $g\nmid b$ ⇒ pas de solution.
2
Sinon, réduire : $a'=a/g$, $b'=b/g$, $n'=n/g$ ; trouver l’inverse $a'^{-1}\pmod{n'}$ via Euclide étendu.
3
Une solution : $x_0\equiv a'^{-1}b'\pmod{n'}$ ; il y a $g$ classes de solutions modulo $n$.
Exemple corrigé
Ex
$3x\equiv 2\pmod{5}$ ⇒ $g=1$, $3^{-1}\equiv 2$ ⇒ $x\equiv 4\pmod{5}$.

Checklist avant de rendre

  • J’ai écrit la définition ou le théorème utilisé.
  • Chaque égalité est justifiée (P1→P7, Euclide, lemme des restes).
  • Les conditions sont vérifiées (par ex. $0\le r< b$ ; $g\mid b$).
  • Le vocabulaire est précis : « $\pmod{n}$ », « reste », « quotient »…
  • Je relis les signes (attention aux $-$ et aux simplifications interdites).

Rappels rapides (formules utiles)

  • $a\equiv b\pmod{n} \iff a=b+kn$ ; $a\equiv b\pmod{n} \iff \exists q,q',r:\\ a=nq+r,\\ b=nq'+r$.
  • Si $a\mid b$ et $a\mid c$ alors $a\mid (ub+vc)$ ; $\forall u,v\in\Z$.
  • $\operatorname{pgcd}(a,b)$ est le dernier reste non nul d’Euclide.
  • Si $g=\operatorname{pgcd}(a,n)$ et $g\mid b$ alors $ax\equiv b\pmod{n}$ a des solutions, sinon non.

Mini‑entraînements éclair

1
Compléter : « $56=17\times3+5=17\times2+22$ mais la seconde n’est pas euclidienne car . »
2
Résoudre $5x\equiv 1\pmod{12}$.
Correction$\operatorname{pgcd}(5,12)=1$, $5^{-1}\equiv 5\pmod{12}$ ⇒ $x\equiv 5\pmod{12}$.
3
Déterminer $D(18)$ puis vérifier $D(9)\subset D(18)$.
Correction$D(18)=\{-18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18\}$, $D(9)=\{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}$.

Erreurs fréquentes à éviter