Définition. Soient $a,b\in\Z$ avec $b\ne0$. On dit que $b$ divise $a$ s’il existe $k\in\Z$ tel
que $a=bk$. On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$. Rappel : $0$ est multiple de tout entier mais
ne divise aucun entier.
P1 — Inclusions d’ensembles (preuve rigoureuse)
Énoncé
Si $b\mid a$, alors $a\Z \subset b\Z$ et $D(b)\subset D(a)$.
Preuve
Supposons $b\mid a$. Il existe $k\in\Z$ tel que $a=bk$.
Inclusion $a\Z\subset b\Z$. Pour tout $m\in\Z$, $am=(bk)m=b(km)\in b\Z$.
Inclusion $D(b)\subset D(a)$. Si $d\in D(b)$, il existe $t\in\Z$ tel que $b=dt$.
Or $a=bk=dtk=d(tk)$ donc $d\in D(a)$.
P2 — Stabilité par les signes
Énoncé
Pour $a,b\in\Z$ non nuls, on a
$$b\mid a \iff (-b)\mid a \iff b\mid (-a) \iff (-b)\mid (-a).$$
Preuve
$b\mid a \Rightarrow a=bk$ pour un certain $k\in\Z$. Alors
$a=(-b)(-k)$ et $-a=b(-k)=(-b)k$, d’où les quatre équivalences.
P3 — Un entier non nul a un nombre fini de diviseurs
Énoncé
Si $n\in\Z\setminus\{0\}$, l’ensemble $D(n)=\{d\in\Z:\ d\mid n\}$ est fini.
Preuve
Soit $d\in D(n)$, $n=de$ pour un $e\in\Z$. Si $|d|>|n|$ alors
$|e|=\dfrac{|n|}{|d|}<1$, impossible pour un entier $e$ non nul.
Donc tout diviseur $d$ vérifie $|d|\le |n|$. Ainsi
$D(n)\subset\{m\in\Z:\ -|n|\le m\le |n|\}$, qui est fini, donc $D(n)$ est fini.
P4 — Stabilité par combinaison linéaire
Énoncé
Si $b\mid a$ et $b\mid c$, alors pour tous $u,v\in\Z$, on a $b\mid (ua+vc)$.
Preuve
Écrire $a=bk$ et $c=b\ell$. Alors $ua+vc=u(bk)+v(b\ell)=b(uk+v\ell)$ est multiple de $b$.
Exemples & mini‑quiz (trous du poly)
E1
Compléter : « 4 divise 24 car $24 = 4\ imes 6$ ; −4 divise aussi 24 car . » Formats acceptés : espaces libres, `×`, `x` ou `*`.
E2
Déterminer les entiers $n$ tels que $2n+1$ divise $n+13$. Correction détaillée
Si $2n+1\mid n+13$, alors par combinaison linéaire on a $2(n+13)-(2n+1)=25$, donc $2n+1\mid 25$.
Comme $2n+1$ est impair, on obtient $2n+1\in\{\pm1,\pm5,\pm25\}$. On résout $2n+1=d$ pour chaque cas et
on trouve $n\in\{0,-1,2,-3,12,-13\}$. Vérification : par exemple pour $n=12$, $2n+1=25\mid 25$ ; pour
$n=-3$, $2n+1=-5\mid 10$. Ainsi les solutions sont $n\in\{-13,-3,-1,0,2,12\}$.
2. Division euclidienne — Théorème & P5 (Lemme des restes)
Théorème. Pour $a\in\Z$, $b\in\N^*$, il existe un unique $(q,r)\in\Z^2$ tel que $a=bq+r$ avec
$0\le r<b$. $q$ est le quotient et $r$ le reste.
Exemple guidé (114 ÷ 8)
Remarques et contre‑exemples (trous du poly)
R1
Compléter : « Dans la division par $b$, il y a restes possibles : $0,1,\\dots,b-1$. »
R2
Compléter : « $56 = 17\ imes 3 + 5 = 17\ imes 2 + 22$ mais la seconde n’est pas
euclidienne car . » Format accepté : espaces libres autour de `>`.
Pour $a\in\Z$ et $b\in\N^*$, il existent des entiers uniques $(q,r)$ tels que
$$a=bq+r\quad\text{avec}\quad 0\le r<b.$$
Existence
Considérons l’ensemble $S=\{\,a-bq\mid q\in\Z\,\}\cap\N$. Il est non vide :
par exemple en prenant $q_0=-(|a|+1)$, on a $a-bq_0=a+b(|a|+1)\ge (b-1)|a|+b\ge 0$.
Par le principe du bon ordre, $S$ admet un plus petit élément $r$,
réalisé pour un certain $q\in\Z$, d’où $a=bq+r$ et $r\ge 0$.
Si $r\ge b$, alors $r-b=a-b(q+1)\ge 0$ appartient encore à $S$ et est $<r$,
contradiction. Ainsi $0\le r<b$.
Unicité
Supposons $a=bq+r=bq'+r'$ avec $0\le r,r'<b$. Alors
$$b(q-q')=r'-r.$$
Le membre de droite vérifie $|r'-r|<b$, tandis que le membre de gauche est un multiple de $b$.
La seule possibilité est $r'=r$, puis $q'=q$. Unicité acquise.
Propriété P5 — Lemme des restes
Énoncé
Pour tout $b\ge2$, tout entier s’écrit sous l’une des formes $bq,\,bq+1,\,\dots,\,bq+(b-1)$.
Exercice
Montrer que $n^2+1$ n’est jamais divisible par $3$.
Indice
Considérer $n$ modulo $3$.
Correction détaillée
On a $n\equiv 0,1,2 \pmod {3}$. Donc $n^2 \equiv 0,1,1$ et $n^2+1\equiv 1,2,2$ : jamais $0$. Ainsi $3\nmid
(n^2+1)$.
Exercice — Produit de trois entiers consécutifs divisible par 3
Énoncé
Montrer que, pour tout entier $n$, le produit $n(n+1)(n-1)$ est divisible par $3$.
Correction
1
Raisonnement modulaire : modulo $3$, tout entier est congru à $0,1$ ou $2$. Parmi trois entiers
consécutifs $n-1,n,n+1$, il y en a toujours un congru à $0$ modulo $3$.
2
Donc le produit est un multiple de $3$.
3. Congruences — déf., P6 (reste) & P7 (règles)
Préambule — Jeu « course à 20 » (mod 4)
Règle
Deux joueurs ajoutent à tour de rôle 1, 2 ou 3 à un total initialement nul. Celui qui annonce 20 gagne.
Idée
Viser les paliers $4,8,12,16,20$ (nombres $\equiv0\pmod 4$). L’objectif est de conserver l’invariant
« après mon tour, le total est $\equiv 0 \pmod 4$ ».
Stratégie
Comme $20\equiv 0\pmod 4$, le deuxième joueur possède une stratégie gagnante : à tout
coup $c\in\{1,2,3\}$ du premier, répondre $4-c$ pour que la paire de coups vaille $4$ et atteindre
successivement $4,8,12,16,20$.
Généralisation
Avec des coups autorisés $1,2,\dots,m$, les paliers sont les multiples de $m+1$. Si la cible $T$ vérifie
$T\equiv r\pmod {m+1}$ avec $r\ne 0$, alors le premier joueur gagne en jouant $r$ au premier coup puis en
« complétant à $m+1$ ». Si $T\equiv 0\pmod {m+1}$, le second joueur a une stratégie gagnante.
Justification modulaire
Le coup adverse ajoute $c\in\{1,2,3\}$. Répondez $4-c$ : la somme des deux coups vaut 4. On poursuit ainsi
jusqu’à $20=4\times 5$.
Définition. Pour $a,b\in\Z$, $n\in\N^*$, $a\equiv b\pmod{n}$ si $n\mid(a-b)$.
Définition (modulo $n$) et exemples
Déf.
Pour $n\in\N^*$ et $a,b\in\Z$, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo $n$,
et l’on note $a\equiv b\pmod n$, si $n\mid(a-b)$.
Ex.
$15-7=8=4\times 2$ donc $15\equiv 7\pmod 2$ et $15\equiv 7\pmod 4$ ;
$-5\equiv -1\pmod 4$ ; si $11=4\times 2+3$ et $7=4\times 1+3$, alors $11\equiv 7\pmod 4$.
Propriété 6 (clé) — « Même reste ⇔ congrus »
Énoncé
Pour $n\in\N^*$ et $a,b\in\Z$,
$$a\equiv b\pmod n \quad\Longleftrightarrow\quad
a \text{ et } b \text{ ont le même reste dans la division euclidienne par } n.$$
Preuve
Écrivons $a=nq+r$ et $b=ns+r'$ avec $0\le r,r'<n$.
Alors $a-b=n(q-s)+(r-r')$. Si $a\equiv b\pmod n$, $n\mid(a-b)$ donc
$n\mid(r-r')$ ; mais $|r-r'|<n$, d’où $r-r'=0$, donc $r=r'$. Réciproquement,
si $r=r'$, alors $a-b=n(q-s)$ est multiple de $n$.
Propriété 7 — règles de calcul (compatibilités)
Énoncé
Soient $a,b,c,d\in\Z$ et $n\in\N^*$.
(1) $a\equiv b\pmod n \Rightarrow a+c\equiv b+c\pmod n$ ;
(2) $a\equiv b\pmod n$ et $c\equiv d\pmod n \Rightarrow a+c\equiv b+d\pmod n$ ;
(3) $a\equiv b\pmod n \Rightarrow ac\equiv bc\pmod n$ ;
(4) $a\equiv b\pmod n$ et $c\equiv d\pmod n \Rightarrow ac\equiv bd\pmod n$ ;
(5) $a\equiv b\pmod n \Rightarrow a^p\equiv b^p\pmod n$ pour tout $p\in\N^*$.
Preuve
(1) et (2) : si $n\mid(a-b)$ et $n\mid(c-d)$, alors $n$ divise aussi
$(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$ ; le cas (1) est $d=c$.
(3) et (4) : $ac-bd=(a-b)c+b(c-d)$ est somme de multiples de $n$.
(5) : par récurrence sur $p$. Le cas $p=1$ est vrai. Si $a^p\equiv b^p\pmod n$,
alors $a^{p+1}-b^{p+1}=(a-b)(a^p+b^p)$ est multiple de $n$.
Attention. Les congruences ne sont pas compatibles avec la
division (réciproques de (3)–(5) fausses).
Par ex. $5\cdot 4 \equiv 5\cdot 6\pmod {10}$ mais $4 \not\equiv 6\pmod {10}$.
Trouver les $x$ tels que $x^2\equiv 0\pmod 4$. Correction$x\equiv 0$ ou $2\pmod 4$.
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