Fiche élève — Généralités sur les suites (Rappels de Première) Suites — EDS Terminale

Auteur : Alaeddine Ben Rhouma — Lycée Pierre Mendès France, Tunis • © Propriété intellectuelle

Sommaire (impression)

  1. 1. Définir une suite
  2. 2. Monotonie d’une suite
  3. 3. Suites arithmétiques et géométriques

1. Définir une suite

Définition. Une suite $(u_n)$ est une application $u: \N \to \R$, $n\mapsto u_n$. L’indice de départ est précisé (souvent $n=0$ ou $n=1$).

Deux modes de définition. Explicite : $u_n=f(n)$. Récurrente : $u_0$ (ou $u_1$) donné et relation $u_{n+1}=g(u_n)$.

Suite arithmétique. $u_{n+1}=u_n+r$ (raison $r$). Alors $u_n=u_0+nr$. Somme : $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)$. Variations : $r>0$ croissante, $r<0$ décroissante, $r=0$ constante.

Suite géométrique. $u_{n+1}=q\,u_n$ (raison $q$). Alors $u_n=u_0\,q^n$. Somme : si $q\ne1$, $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k=u_0\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$; sinon $(n+1)u_0$.

Limites usuelles : $|q|<1 \Rightarrow q^n\to0$; $q=1$ constante; $q=-1$ non convergente; $|q|>1$ divergence en module (alternance si $q<0$). Une arithmétique $u_0+nr$ diverge si $r\ne0$.
Exemples (définitions)
1
Explicite : $u_n=(-1)^n$ (on peut calculer $u_9$ immédiatement).
2
Récurrente : $w_{n+1}=5w_n+3$ (il faut connaître un terme initial).
Remarques
•
On peut souvent passer d’une définition à l’autre selon la question étudiée.
•
La suite peut être notée $u$; $u_n$ désigne le n‑ième terme de la suite $u$.

2. Monotonie d’une suite

N0 — Définitions de la monotonie
Croiss.
Strictement croissante à partir du rang $p$ si $\forall n\ge p$, $u_{n+1}>u_n$. Strictement décroissante si $u_{n+1}<u_n$.
Large
Croissante si $u_{n+1}\ge u_n$; décroissante si $u_{n+1}\le u_n$. Stationnaire/constante à partir d’un rang si $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n$ assez grand.
Remarques
(1)
Si $u_n=f(n)$ (définition explicite), les variations de $(u_n)$ suivent celles de $f$.
(2)
Si $u_{n+1}=f(u_n)$ (définition récurrente), les variations de $(u_n)$ ne suivent pas forcément celles de $f$.
N1 — Critère de monotonie par les différences
Utilité
Décider si $(u_n)$ est croissante/décroissante via $\Delta_n=u_{n+1}-u_n$.
Énoncé
$\forall n$, $\Delta_n\ge0$ $\Rightarrow$ $(u_n)$ croissante; $\Delta_n\le0$ $\Rightarrow$ décroissante.
Mini‑preuve
Idée
Si $u_{n+1}-u_n\ge0$ alors $u_{n+1}\ge u_n$. En enchaînant, on obtient $u_{n+k}\ge u_n$.
N4 — Critère multiplicatif (termes positifs)
Énoncé
Si $u_n>0$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge1$ $\forall n$, alors $(u_n)$ croît; si $\le1$, décroît.
Astuce
Idée
Comparer $u_{n+1}/u_n$ est utile pour les suites de type exponentiel.

3. Suites arithmétiques et géométriques

N2 — Suites arithmétiques
Formule
$u_{n+1}=u_n+r \iff u_n=u_0+nr$.
Somme
$\sum_{k=0}^n u_k=\dfrac{n+1}{2}(u_0+u_n)$.
Généralisation
Pour tous entiers $n,p$, $u_n=u_p+(n-p)r$.
Variations
$r>0$ croissante; $r<0$ décroissante.
Exemple
Ex
$u_0=2,\ r=3 \Rightarrow u_n=2+3n$; $\sum_{k=0}^{4}u_k=\frac{5}{2}(u_0+u_4)=\frac{5}{2}(2+14)=40$.
N3 — Suites géométriques
Formule
$u_{n+1}=q\,u_n \iff u_n=u_0\,q^n$.
Somme
Si $q\ne1$, $\sum_{k=0}^n u_k=u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$; sinon $(n+1)u_0$.
Généralisation
Pour tous entiers $n,p$, $u_n=u_p\,q^{\,n-p}$.
Limites
$|q|<1$ $\Rightarrow$ $u_n\to0$; $q>1$ $\Rightarrow$ $|u_n|\to+\infty$ (si $u_0\ne0$).
Exemple
Ex
$u_0=8,\ q=\tfrac12 \Rightarrow u_n=8\,(\tfrac12)^n$; $\sum_{k=0}^{3}u_k=8\,\dfrac{1-(1/2)^4}{1-1/2}=15$.
N5 — Comportements limites courants
Règle
$|q|<1 \Rightarrow q^n\to0$; arithmétique $u_0+nr$ diverge si $r\ne0$; $(-1)^n$ n’a pas de limite.
Exemple
Ex
$u_n=5\cdot(0{,}8)^n \to 0$; $v_n=3-2n\to-\infty$.
N6 — Passer de récurrence à explicite
Arith.
$u_{n+1}=u_n+r \Rightarrow u_n=u_0+nr$.
Géo.
$u_{n+1}=q\,u_n \Rightarrow u_n=u_0\,q^n$.
Exemple
Ex
$u_0=1,\ u_{n+1}=u_n+4 \Rightarrow u_n=1+4n$; $v_0=9,\ v_{n+1}=0{,}6v_n \Rightarrow v_n=9\cdot0{,}6^n$.
N7 — Sommes (bornes d’indice)
Attention
Vérifier l’indice de départ (0 ou 1) avant d’appliquer les formules de somme.
Piège
⚠️
Confondre $\sum_{k=0}^n$ et $\sum_{k=1}^n$ change les résultats.

Méthodologie par type d’exercice

A. Reconnaître et caractériser la suite
1
Identifier le type : arithmétique ($u_{n+1}-u_n$ constant), géométrique ($u_{n+1}/u_n$ constant pour $u_n\ne0$), autre.
2
Relever l’indice de départ ($u_0$ ou $u_1$) et la ou les constantes (raison $r$ ou $q$).
Exemple corrigé
Ex
$u_0=2,\ u_{n+1}=u_n+5$ ⇒ arithmétique (r=5). $v_1=3,\ v_{n+1}=2v_n$ ⇒ géométrique (q=2) à partir de $n=1$.
B. Passer de la récurrence à l’expression explicite
1
Arithmétique : $u_n=u_0+nr$.
2
Géométrique : $u_n=u_0\,q^n$.
Exemple corrigé
Ex
$w_0=7,\ w_{n+1}=w_n-2$ ⇒ $w_n=7-2n$. $x_0=5,\ x_{n+1}=\tfrac34 x_n$ ⇒ $x_n=5\,(\tfrac34)^n$.
C. Étudier les variations
1
Calculer $u_{n+1}-u_n$ (ou $u_{n+1}/u_n$ si $u_n>0$) et conclure.
2
Pour une géométrique $u_0>0$ : $q>1$ ⇒ croissante; $0<q<1$ ⇒ décroissante.
Exemple corrigé
Ex
$u_n=2+3n$ ↑; $v_n=8\cdot0{,}5^n$ ↓ vers 0.
D. Calculer des sommes
1
Arithmétique : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k=\dfrac{n+1}{2}(u_0+u_n)$.
2
Géométrique ($q\ne1$) : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k=u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
Exemple corrigé
Ex
Si $u_k=3+2k$ (arith.), alors $\sum_{k=0}^{10}u_k=\dfrac{11}{2}(u_0+u_{10})=\dfrac{11}{2}(3+23)=143$.
E. Limites simples
1
$|q|<1$ ⇒ $q^n\to0$; $q=1$ ⇒ constante; $|q|>1$ ⇒ divergence en module.
2
Arithmétique $u_0+nr$ : si $r>0$, $\to +\infty$; si $r<0$, $\to -\infty$.
Exemple corrigé
Ex
$x_n=5\cdot(0{,}8)^n\to0$, $y_n=1-0{,}2n\to-\infty$.

Checklist avant de rendre

  • J’ai indiqué le type de la suite (arithmétique, géométrique, autre) et l’indice de départ.
  • J’ai écrit la formule (explicite/récurrente) et les paramètres ($u_0$, $r$ ou $q$).
  • Variations justifiées (signe de $u_{n+1}-u_n$ ou du quotient).
  • Pour une somme, j’ai vérifié les bornes d’indice et le cas $q=1$.
  • Limites : j’ai appliqué les règles usuelles correctement.

Rappels rapides (formules utiles)

  • Arith. $u_{n+1}=u_n+r \iff u_n=u_0+nr$; somme $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k=\frac{n+1}{2}(u_0+u_n)$.
  • Géo. $u_{n+1}=q\,u_n \iff u_n=u_0\,q^n$; somme si $q\ne1$, $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k=u_0\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
  • Limites : $|q|<1 \Rightarrow q^n\to0$; $q=1$ constante; $|q|>1$ divergence; $(-1)^n$ non convergente.
  • Monotonie : $u_{n+1}-u_n\ge0$ ⇒ croissante; si $u_n>0$, $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge1$ ⇒ croissante.

Mini‑entraînements éclair

1
Reconnaître le type : $u_0=4,\ u_{n+1}=u_n-3$.
RéponseSuite arithmétique de raison $r=-3$, $u_n=4-3n$.
2
Somme géométrique : $u_n=5\cdot(0{,}8)^n$. Calculer $\sum_{k=0}^{3}u_k$.
Correction $5\,\dfrac{1-0{,}8^{4}}{1-0{,}8}=5\,\dfrac{1-0{,}4096}{0{,}2}=5\cdot2{,}952=14{,}76$.
3
Limite : pour $q=\tfrac12$, compléter : « $q^n \to$ »
4
Variations : $v_n=9\cdot 1{,}2^n$ ($v_n>0$).
Réponse$\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=1{,}2>1$ ⇒ $(v_n)$ croissante et $\to +\infty$.
5
Étudier le sens de variation de $u_n=2n^2+n+5$.
Correction$u_{n+1}-u_n=2((n+1)^2-n^2)+1=2(2n+1)+1=4n+3>0$ $\forall n\in\N$ ⇒ $(u_n)$ strictement croissante.
6
Étudier le sens de variation de $v_{n+1}=v_n-2$, $v_0=-1$.
Correction$v_{n+1}-v_n=-2<0$ ⇒ $(v_n)$ strictement décroissante; de plus $v_n=-1-2n$.
7
Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=-\tfrac12 u_n+1$; poser $v_n=u_n-\tfrac23$.
Correction
(i)
$u$ n’est ni arithmétique ($u_{n+1}-u_n=-\tfrac32 u_n+1$ dépend de $n$) ni géométrique ($\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=-\tfrac12+\dfrac{1}{u_n}$ non constant).
(ii)
$v_{n+1}=u_{n+1}-\tfrac23=-\tfrac12 u_n+1-\tfrac23=-\tfrac12(u_n-\tfrac23)=-\tfrac12 v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q=-\tfrac12$ et $v_0=u_0-\tfrac23=-\tfrac23$.

Erreurs fréquentes à éviter