1) Mémo — Formules indispensables
Arithmétique & géométrique
- Arith. $u_{n + 1}=u_n+r$ ⇒ $u_n=u_0+nr$, $\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} u_k=\tfrac{n + 1}{2}(u_0+u_n)$.
- Géom. $u_{n + 1}=q\,u_n$ ⇒ $u_n=u_0\,q^n$, $\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} q^k=\begin{cases} n+1&(q=1)\\ \dfrac{1 - q ^ { n+ 1}}{1 - q}&(q\ne1)\end{cases}$.
Limites et comparaisons
- $q^n\to0$ si $|q|<1$ ; $q>1$ ⇒ $q^n\to+\infty$ ; $q\le-1$ ⇒ pas de limite.
- Gendarmes : $v_n\le u_n\le w_n$ et $v_n,w_n\to\ell$ ⇒ $u_n\to\ell$.
- F.I. : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $0/0$, $\infty/\infty$.
Linéaire 1er ordre
- $u_{n + 1}=a\,u_n+b$ : $u_n=a^n(u_0-u^*)+u^*$, $u^*=\dfrac{b}{1 - a}$ si $a\ne1$.
2) À connaître par cœur — 12 flash‑cards
Somme géom. $\sum_{k = 0}^{n} q^k$
$\begin{cases} n+1&(q=1)\\ \dfrac{1 - q ^ { n+ 1}}{1 - q}&(q\ne1)\end{cases}$
Suite arith. $u_{n + 1}=u_n+r$
$u_n=u_0+nr$ ; $\sum u_k=\tfrac{n + 1}{2}(u_0+u_n)$
Suite géom. $u_{n + 1}=q u_n$
$u_n=u_0 q^n$
Linéaire $u_{n + 1}=a u_n+b$
$u_n=a^n(u_0-u^*)+u^*$, $u^*=\dfrac{b}{1 - a}$
$q^n$
$|q|<1\Rightarrow q^n\to0$ ; $q>1\Rightarrow +\infty$
$\dfrac{1}{n ^ p}$ ($p>0$)
$\to 0$
$\dfrac{an + b}{cn + d}$
$\to \dfrac{a}{c}$ si $c\ne0$
$\sqrt{n + a}-\sqrt{n}$
$\to 0$ (rationalisation)
Polynôme degré $p\ge1$
$\to \pm\infty$ (terme dominant)
Comparaison
$u_n\le v_n$ et $u_n\to+\infty$ ⇒ $v_n\to+\infty$
Gendarmes
Si $v_n\le u_n\le w_n$ et $v_n,w_n\to\ell$ ⇒ $u_n\to\ell$
Bernoulli
$(1+a)^n\ge 1+na$ pour $a>0$
Astuce : Tab puis Entrée pour retourner au clavier. Clic = recto/verso.
3) Exercices minute ++
Saisissez une expression courte. Tolérance aux espaces et au signe × (x,
* acceptés).
E1 — Terme général (arith.)
$u_{n + 1}=u_n+3$, $u_0=5$. Donner $u_n$.
E2 — Somme arith.
$S_n=\sum_{k = 0}^{n}(2k+1)$.
E3 — Somme géom.
$S_n=\sum_{k = 0}^{n}3\cdot 2^k$.
E4 — Limite rationnelle
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{5n ^ 2 + 4}{4n ^ 2 + 3n}=\;$
E5 — Rationalisation
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n + 3}-\sqrt{n})=\;$
E6 — Puissances
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n$ pour $|q|<1\;:\;$
E7 — Linéaire 1er ordre
Résoudre $w_{n + 1}=\tfrac{3}{4}w_n+6$, $w_0=0$.
E8 — Limite de $\dfrac{u_n + 3}{u_n + 1}$
$u_{n + 1}=\dfrac{u_n + 3}{u_n + 1}$, $u_0>0$ : $\ell=\;$