Interface Maths — Lycée PMF

Sommaire (impression)

Définitions (arithmétique, géométrique, explicite vs récursive)
Principe de récurrence (exemples, Bernoulli)
Suites majorées/minorées/bornées
Variations (critères usuels, étude via une fonction)
Limites (définitions rigoureuses, comparaisons, opérations, arithm./géom.)
Convergence des suites monotones
Entraînements
Banque d'exercices (autocorrigés)

1. Définitions de suites

Définition. Une suite réelle est une application $u: \N \to \R$, notée $(u_n)_{n\in\N}$, qui à chaque entier $n$ associe un nombre réel $u_n$.

Exemples fondamentaux

Suite arithmétique. $u_{n+1}=u_n+r$ (raison $r$). Alors $u_n=u_0+nr$.
Somme partielle : $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k=\dfrac{n+1}{2}(u_0+u_n)$.

Suite géométrique. $u_{n+1}=q\,u_n$ (raison $q$). Alors $u_n=u_0\,q^n$.

Méthode. Pour reconnaître la nature d'une suite définie par récurrence simple, mettre en évidence $u_{n+1}-u_n$ (arithmétique) ou $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (géométrique) lorsque $u_n>0$.

Tableau récapitulatif — arithmétique vs géométrique

Type	Définition (récurrence)	Terme général	Somme $S_n=\sum_{k=0}^{n} u_k$
Arithmétique	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_n=u_0+nr$	$\dfrac{n+1}{2}(u_0+u_n)$
Géométrique	$u_{n+1}=q\,u_n$	$u_n=u_0\,q^n$	$\begin{cases}(n+1)u_0 & (q=1)\\[1mm] u_0\,\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} & (q\ne 1)\end{cases}$

Méthodes clés

Reconnaître le type. Calculer $u_{n+1}-u_n$ (constante $\Rightarrow$ arithmétique) ou le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (constant $\Rightarrow$ géométrique, si $u_n\ne 0$).

Somme géométrique. Pour $q\ne 1$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ; pour $q=1$, $n+1$.

Résoudre $u_{n+1}=a\,u_n+b$. Si $a\ne 1$, la solution se met sous la forme $u_n=a^n(u_0-u^*)+u^*$ avec $u^*=\dfrac{b}{1-a}$. Si $a=1$, alors $u_n=u_0+nb$.

2. Principe de récurrence

Principe. Pour une propriété $P(n)$, si (i) $P(n_0)$ est vraie (initialisation) et (ii) $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ pour tout $n\ge n_0$ (hérédité), alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.

Exemple guidé — Polynésie 2022

Suite $u_0=1$, $\displaystyle u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$. Conjecture : $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.
Preuve : Initialisation $u_0=1=1/(0+1)$ ; Hérédité si $u_n=\dfrac{1}{n+1}$, alors $\displaystyle u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{1}{n+2}$.

Inégalité de Bernoulli

Th.

Pour $a>0$ et tout $n\in\N$, $(1+a)^n\ge 1+na$ (preuve par récurrence : multiplier par $(1+a)>0$ à l'étape d'hérédité).

Interprétation : pour $x>0$, la courbe $y=(1+x)^n$ est au-dessus de sa tangente en $0$, $y=1+nx$.

Récurrence et suites définies par récurrence

Montrer que $u_{n+1}=\tfrac15 u_n+8$, $u_0=2$ vérifie $u_n\le 10$ pour tout $n$. (Initialisation au rang $0$ puis hérédité.)

3. Suites majorées, minorées, bornées

Définitions. $(u_n)$ est majorée s'il existe $M$ tel que $u_n\le M$ pour tout $n$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $u_n\ge m$ ; bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples rapides

$u_n=\cos n$ est bornée ($-1\le u_n\le 1$).

$v_n=n^2+1$ est minorée ($v_n\ge 1$) mais non majorée.

Exemple détaillé — $u_n=1+\dfrac{2}{n}$ ($n\ge 1$)

Pour $n\ge 1$, $0\le \dfrac{2}{n}\le 2$ donc $1\le u_n\le 3$ : $(u_n)$ est bornée, minorée par $1$ et majorée par $3$.

Tout réel $M\ge 3$ est aussi un majorant de $(u_n)$ ; tout réel $m\le 1$ est un minorant.

Bornes par récurrence

$u_{n+1}=\tfrac12 u_n+4$, $u_0=5$. Montrer par récurrence : $3\le u_n\le 5$ puis en déduire la croissance avec $u_{n+1}-u_n=-\tfrac12 u_n+4\ge 0$.

4. Variations d'une suite

Définition. $(u_n)$ est croissante à partir de $n_0$ si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n\ge n_0$ ; décroissante si $u_{n+1}\le u_n$.

Critères usuels

Pos

Si $u_n>0$ à partir d'un rang, alors $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$ (resp. $\le 1$) entraîne la croissance (resp. décroissance).

Diff

Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ (ex. : $u_n=n^2-n$ $\Rightarrow$ $u_{n+1}-u_n=2n\ge0$).

Via l'étude d'une fonction

Idée

Si $u_{n+1}=f(u_n)$ et si l'on connaît les variations de $f$ sur un intervalle stabilisé par la suite, on peut borner / comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ (cf. exemples des documents).

5. Limites de suites

Définitions rigoureuses — limite finie, infinie, divergence

L∞

Limite $+\infty$. $(u_n)\to+\infty$ signifie : pour tout $A\in\R$, l'intervalle $]A,+\infty[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang. (Définition séquentielle.)

L−∞

Limite $-\infty$. $(u_n)\to-\infty$ signifie : pour tout $A\in\R$, $]-\infty,A[$ contient tous les $u_n$ à partir d'un certain rang.

Limite finie $\ell\in\R$. Pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$, on a $u_n\in I$ à partir d'un certain rang. On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Ex1

Exemple. $u_n=n^2\to+\infty$ car, si $u_n\in]A,+\infty[$ $\Leftrightarrow$ $n^2>A$ $\Leftrightarrow$ $n>\sqrt{A}$, il suffit de prendre $n\ge\lceil\sqrt{A}\rceil$.

Ex2

Exemple. $u_n=\dfrac1n\to 0$ car pour tout intervalle $] -\alpha,\beta[$ contenant $0$ (avec $\alpha,\beta>0$), $0<\dfrac1n<\beta$ dès que $n>\dfrac1\beta$.

Ex3

Pas de limite. $u_n=(-1)^n$ n'a pas de limite : la suite oscille entre $-1$ et $1$.

Vocabulaire. Une suite diverge si elle n'a pas de limite finie (cas : pas de limite ou limite infinie).

Comparaison et encadrement — théorèmes clés

Théorème de comparaison. Si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang et $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$. Si $u_n\le v_n$ et $v_n\to-\infty$, alors $u_n\to-\infty$.

Théorème des gendarmes. Si $v_n\le u_n\le w_n$ à partir d'un rang et $v_n\to \ell$ et $w_n\to \ell$, alors $u_n\to \ell$.

Opérations sur les limites — cas usuels et F.I.

Dans tous les énoncés ci-dessous, les limites sont prises pour $n\to+\infty$.

Sommes

$u_n$	$v_n$	$u_n+v_n$
$\ell\in\R$	$\ell'\in\R$	$\ell+\ell'$
$+\infty$	bornée inférieurement	$+\infty$
$-\infty$	bornée supérieurement	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	F.I. ($\infty-\infty$)

Produits

$u_n$	$v_n$	$u_nv_n$
$\ell\in\R$	$\ell'\in\R$	$\ell\ell'$
$\ell\ne 0$	$\pm\infty$	$\pm\infty$ (signe par $\ell$)
$0$	$\pm\infty$	F.I. ($0\times\infty$)

Quotients

$u_n$	$v_n$	$\dfrac{u_n}{v_n}$
$\ell\in\R$	$\ell'\in\R\setminus\{0\}$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$
$\pm\infty$	$\ell'\ne 0$	$\pm\infty$ (signe par $\ell'$)
$\ell\ne 0$	$0^+$ (resp. $0^-)$	$+\infty$ (resp. $-\infty$)
$\ell=0$	$0$	F.I. ($0/0$)
$\pm\infty$	$\pm\infty$	F.I. ($\infty/\infty$)

Ex4

Exemple. $u_n=n^2-5n+6$. Par somme : $n^2+(\!-5n)+6$ est une F.I. ($\infty-\infty$). Factorisons par le terme dominant : $$u_n=n^2\Big(1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}\Big).$$ Or $n^2\to+\infty$ et $1-\dfrac{5}{n}+\dfrac{6}{n^2}\to 1$ ; ainsi $u_n\to +\infty$ (produit).
Variante : $u_n=(n-2)(n-3)\to +\infty$.

Limites des suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique $(u_n)$, $u_n=u_0+nr$, $r\ne 0$. Si $r>0$, alors $u_n\to+\infty$ ; si $r<0$, alors $u_n\to-\infty$.

Géom

Puissances $q^n$ avec $q\in\R\setminus\{0\}$ : si $-1<q<1$, alors $q^n\to 0$ ; si $q=1$, limite $1$ ; si $q>1$, $q^n\to +\infty$ ; si $q\le -1$, la suite n'a pas de limite.

Corollaire. Suite géométrique $(u_n)$, $u_n=u_0q^n$ avec $u_0\ne 0$, $q\ne 0$ : mêmes conclusions pour $(u_n)$ que pour $(q^n)$, avec le signe initial $u_0$.

Mémo rapide — limites usuelles

Suite $(u_n)$	Condition	Limite
$\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^p}$	$p>0$	$0$
$n^p$, $\sqrt[n]{n}$	$p>0$	$+\infty$
$q^n$	$\lvert q\rvert<1$	$0$
$q^n$	$q>1$	$+\infty$
$(-q)^n$	$\lvert q\rvert<1$	oscille $\to 0$
$\sqrt{n+a}-\sqrt{n}$	$a$ réel fixe	$0$ (par rationalisation)
$\dfrac{an+b}{cn+d}$	$c\ne 0$	$\dfrac{a}{c}$

Pièges fréquents (formes indéterminées et erreurs classiques)

Formes indéterminées : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$. — Les lever par factorisation par le terme dominant, rationalisation ($\sqrt{n+a}-\sqrt{n}$), mise au même dénominateur, etc.
Confusion « rang » vs « terme » : $n\to+\infty$ ne dit rien du signe de $u_n$. Ne concluez pas $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\ge1$ sans hypothèses ; privilégier l'étude de $u_{n+1}-u_n$ ou l'analyse de $f$ si $u_{n+1}=f(u_n)$.
Puissances et signe : $q^n\to0$ seulement si $\lvert q\rvert<1$ ; si $q<-1$, $q^n$ n'a pas de limite ; si $-1<q<0$, alternance mais $q^n\to0$.
Inégalités et opérations : diviser par une quantité potentiellement négative/qui tend vers 0 peut inverser le sens ou être illégitime. Vérifier les signes/limites avant d'opérer.
Racines/carrés : élever au carré peut créer des implications non équivalentes. Préférer rationaliser ou travailler sur des fonctions monotones.
Gendarmes mal posés : pour appliquer le théorème des gendarmes, il faut deux suites encadrantes qui convergent vers la même limite au même rang.

6. Convergence des suites monotones

Principes

Mtn

Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors $(u_n)$ converge ; si elle est croissante et non majorée, alors $u_n\to +\infty$.

Mtn

Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, alors $(u_n)$ converge ; si elle est décroissante et non minorée, alors $u_n\to -\infty$.

Borné→Conv

Toute suite qui converge est bornée (réciproque fausse).

Exemples et contre‑exemples

Ex6

$u_n=-3+\dfrac{1}{5+n^3}\to -3$. On a $0<\dfrac{1}{5+n^3}\le \dfrac{1}{5}$ donc $-3\le u_n\le -3+\dfrac{1}{5}$ : la suite est bornée ; comme $\big(\dfrac{1}{5+n^3}\big)$ décroît, $(u_n)$ décroît vers $-3$.

CtrEx

$v_n=1+(-1)^n$ est bornée ($0\le v_n\le 2$) mais ne converge pas.

7. Entraînements (sélection)

Récurrence

Montrer $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ pour $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$, $u_0=1$.
Suite $u_{n+1}=\tfrac15 u_n+8$, $u_0=2$ : prouver $u_n\le 10$.
Bernoulli : $(1+\alpha)^n\ge 1+n\alpha$ pour $\alpha>0$.

Variations et bornes

$u_{n+1}=\sqrt{2u_n-1}$, $u_0=5$ : montrer $u_n\ge 1$ et décroissance.
$u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$, $u_0=1$ : montrer $0\le u_n\le u_{n+1}\le 4$.

Limites

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} (n^2-5n+1)$ ; $\lim \dfrac{5n^2+4}{4n^2+3n}$ ; $\lim (\sqrt{n+2}-\sqrt n)$.

Arithmétique / Géométrique — exercices

Reconnaissance. Déterminer la nature et le terme général de $u_{n+1}=u_n+3$, $u_0=5$ ; de $v_{n+1}=2v_n$, $v_0=\tfrac12$.
Sommes. Calculer $\sum_{k=0}^{n} (2k+1)$ et $\sum_{k=0}^{n} 3\cdot 2^k$.
Linéaire 1er ordre. Résoudre $w_{n+1}=\tfrac34 w_n+6$, $w_0=0$.

Limites — exercices

Étudier $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{5n^2+4}{4n^2+3n}$ ; $\lim (\sqrt{n+3}-\sqrt{n})$.
Si $|q|<1$, montrer $\sum_{k=0}^{n} q^k$ converge et trouver sa limite quand $n\to+\infty$.

Exercices guidés — limites et convergence

Limite d'une suite rationnelle de suites — $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{u_n+1}$, $u_0>0$.

Correction

1) Monotonie / bornes (esquisse) : on montre $u_n>0$ et que $(u_n)$ est croissante et majorée (par 3 typiquement) en étudiant $u_{n+1}-u_n$ ou via une étude de $f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$ sur un intervalle stable.

2) Limite candidate : si $u_n\to \ell$, alors en passant à la limite dans $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{u_n+1}$, on obtient $\ell=\dfrac{\ell+3}{\ell+1}$, soit $\ell(\ell+1)=\ell+3$, donc $\ell^2-3=0$. Ainsi $\ell\in\{\sqrt{3},-\sqrt{3}\}$. Avec $u_n>0$, on retient $\ell=\sqrt{3}$.

Limite par rationalisation — $v_n=\sqrt{n+a}-\sqrt{n}$ avec $a$ réel fixé.

Correction

Multiplier par le conjugué : $v_n=\dfrac{a}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}} \to 0$.

8. Banque d'exercices (autocorrigés)

Saisissez votre réponse puis laissez l'auto‑correcteur valider (✔️/❌). Tolérance aux espaces et au signe × (x, * acceptés). Évitez les phrases : privilégiez des expressions mathématiques simples.

Suites arithmétiques et géométriques

Terme général — $u_{n+1}=u_n+3$, $u_0=5$. Donner $u_n$ sous forme simplifiée.

Somme arithmétique — $S_n=\sum_{k=0}^n (2k+1)$. Donner une forme fermée de $S_n$.

Somme géométrique — $S_n=\sum_{k=0}^n 3\cdot 2^k$. Donner $S_n$ sous forme fermée.

Limites

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \frac{5n^2+4}{4n^2+3n} = \;$

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} (\sqrt{n+3}-\sqrt{n}) = \;$

$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} q^n$ pour $\lvert q\rvert<1$ :

Équations de récurrence linéaires (1er ordre)

Résoudre $w_{n+1}=\tfrac{3}{4}w_n+6$ avec $w_0=0$ : donner $w_n$.

Suite $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{u_n+1}$, $u_0>0$. Limite $\ell=\;$

Bornes et variations

Pour $u_n=1+\dfrac{2}{n}$ ($n\ge 1$), donner un minorant classique $m$ et un majorant classique $M$.

$m=\;$

$M=\;$

E10

Pour $u_n=n^2-n$, calculer $u_{n+1}-u_n = \;$

Exercices aléatoires

Conseils d'utilisation

Écrivez les puissances avec l'exposant entre accolades si besoin : 2^{n+1} (la saisie 2^n est tolérée ici).
Pour les racines, utilisez sqrt(·) : ex. sqrt(3).
La validation tolère les espaces et accepte x, * pour la multiplication.