Interface Maths — Lycée PMF

1) Mémo — Formules indispensables

Trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$

Forme canonique: $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=c-\dfrac{b^2}{4a}$.
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$.
- $\Delta>0$: racines $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$.
- $\Delta=0$: racine double $-\dfrac{b}{2a}$, factorisation $a(x-x_0)^2$.
- $\Delta<0$: pas de racine réelle; signe de $f$=signe de $a$.
Somme/produit (si racines réelles $x_1,x_2$): $S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$, $P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
Signe (notation française): $a>0 \Rightarrow f\ge0$ sur $]-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty[$ et $f\le0$ sur $[x_1;x_2]$ (règle inversée si $a<0$).

Mettre sous forme canonique

Calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$.
Écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
Interpréter: $S(\alpha,\beta)$ est le sommet; minimum si $a>0$, maximum si $a<0$.

Résoudre $ax^2+bx+c=0$

Calculer $\Delta=b^2-4ac$.
$\Delta<0$: pas de solution réelle. $\Delta=0$: $x=-\dfrac{b}{2a}$. $\Delta>0$: $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Signe de $f$

Si $\Delta<0$: signe de $f$=signe de $a$ sur $\R$.
Si $\Delta\ge0$: placer les racines sur l’axe et appliquer la règle « signe de $a$ à l’extérieur, signe contraire entre ».

a b c

a b c

a b c

S P

Pièges à éviter

Oublier $a\ne0$ (il faut tester avant toute division par $a$).
Confondre $-\dfrac{b}{2a}$ et $\dfrac{-b}{2a}$ (c’est la même chose, mais pas $\dfrac{-b}{2}\,a$).
Appliquer la règle de signe sans trier $x_1\le x_2$.
Mauvaise notation des intervalles: utiliser $]-\infty;\,\cdot]$ et $[\cdot;\,+\infty[$.

Avant un contrôle