Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$; racines $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta>0$.
Règle de signe: signe de $a$ « à l'extérieur des racines », signe contraire « entre les racines ».
Sommaire (impression)
Définition et vocabulaire
Forme canonique et sommet
Racines, discriminant et factorisation
Signe du trinôme et tableau de signes
Variations de la fonction quadratique
Équations et inéquations du 2e degré
Entraînements
1. Définition et vocabulaire
Définition. Un polynôme du second degré est une fonction $f: \R\to\R$ de la forme
$f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$. On l’appelle trinôme lorsque l’on insiste sur l’expression
$ax^2+bx+c$.
Vocab
On appelle coefficient directeur $a$ (quadratique), coefficient linéaire $b$, terme constant
$c$. Le sommet de la parabole est le point d’extremum $S(\alpha,f(\alpha))$.
Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut (convexe) et possède un minimum. Si
$a<0$, tournée vers le bas (concave), maximum.
2. Forme canonique et sommet
Théorème. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, on peut écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=c-\dfrac{b^2}{4a}$.
Le sommet est $S(\alpha,\beta)$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, $\beta=f(\alpha)$. C’est le minimum si
$a>0$ et le maximum si $a<0$.
Exemple
Ex
Écrire sous forme canonique $f(x)=2x^2-4x+5$. Ici $a=2$, $b=-4$, $c=5$, donc
$\alpha=-\dfrac{-4}{2\cdot2}=1$ et $\beta= f(1)=2-4+5=3$. Ainsi $f(x)=2(x-1)^2+3$.
3. Racines, discriminant, factorisation
On note $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de $ax^2+bx+c$.
$\Delta>0$: deux racines réelles $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
$\Delta=0$: une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ et $f(x)=a(x-x_0)^2$.
$\Delta<0$: aucune racine réelle; le signe de $f$ est celui de $a$.
Exemples guidés
1
Résoudre $x^2-5x+6=0$. $\Delta=25-24=1$ donc $x=\dfrac{5\pm1}{2}\in\{2,3\}$; $f(x)=(x-2)(x-3)$.
2
Résoudre $4x^2+4x+1=0$. $\Delta=16-16=0$ donc $x_0=-\dfrac{4}{8}=-\tfrac12$;
$f(x)=4(x+\tfrac12)^2$.
4. Signe du trinôme
Le tableau de signes se déduit des racines et du coefficient $a$.
Méthode
Si $\Delta>0$: le signe de $f$ change à $x_1$ et $x_2$, et coïncide avec le signe de $a$ hors de
l’intervalle $[x_1,x_2]$.
Si $\Delta=0$: $f\ge0$ si $a>0$ (et $\le0$ si $a<0$) avec annulation en $x_0$.
Si $\Delta<0$: $\operatorname{sign}(f)=\operatorname{sign}(a)$ sur $\R$.
Application rapide
Ex
Pour $f(x)=x^2-5x+6$, $a>0$, racines 2 et 3. Alors $f\ge 0$ sur $]-\infty;2]\cup[3;+\infty[$ et
$f\le 0$ sur $[2;3]$.
5. Variations
Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\ne0$:
si $a>0$, $f$ décroît sur $]-\infty;\alpha]$ puis croît sur $[\alpha;+\infty[$ (minimum $\beta$ au
point $\alpha$) ;
si $a<0$, $f$ croît puis décroît (maximum $\beta$ au point $\alpha$).
6. Équations et inéquations
Éq.
Résoudre $ax^2+bx+c=0$ par le discriminant; factoriser si possible puis utiliser le tableau de signes
pour $ax^2+bx+c\; \gtrless\; 0$.
Exemples
1
Résoudre $x^2-3x-4\le0$. Racines $-1$ et $4$ donc $x\in[-1,4]$.
2
Résoudre $2x^2+2x+3>0$. $\Delta<0$ et $a>0$ donc $\forall x, f(x)>0$.
6 bis. Somme et produit des racines
Propriété (admis). Si $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\ne0$) admet les deux racines réelles
$x_1,x_2$, alors: $S=x_1+x_2= -\dfrac{b}{a}$ et $P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.
Mini‑quiz
Q1
Pour $f(x)=2x^2-3x+1$, compléter $S=$
et $P=$ .
Q2
Pour $f(x)=-3x^2+4x-7$, compléter $S=$
et $P=$ .
6 ter. Position relative parabole / droite
Comparer $y_f=ax^2+bx+c$ et $y_g=mx+p$ via le signe de $h(x)=f(x)-g(x)=ax^2+(b-m)x+(c-p)$.
Objectif: déterminer les dimensions x (longueur) et y
(largeur) d’une aire de jeu rectangulaire adossée à un bâtiment (le long d’un côté), pour
maximiser l’aireA = x × y (m²),
en tenant compte d’une allée de largeur t sur trois côtés (avant et les deux côtés) et
d’une longueur totale de clôture L disponible.
Modèle: clôture sur AB, BC, CD avec allée de largeur t. On impose $x\ge10$, $y\ge10$
(dimensions de l’aire).
Résoudre $f(x)=ax^2+bx+c\; \gtrless\; 0$ (notation française des intervalles).
Choisir a,b,c et le signe puis « Résoudre ».
Équations bicarrées
B1
Résoudre $x^4+px^2+q=0$ via $X=x^2$.
Suggéré: $x^4-9x^2+14=0$.
Reconstruire le trinôme à partir de S et P
SP
Étant donnés $S=x_1+x_2$ et $P=x_1x_2$, le trinôme monique est $x^2-Sx+P$.
Ex.: $S=5, P=6 \Rightarrow x^2-5x+6$.
6 sexies. Générateur d’exercices (aléatoire) — avec correction
Génère des énoncés variés: forme canonique, discriminant/racines, signe/intervalle,
inéquations. Les valeurs sont choisies pour avoir des calculs propres.
Cliquez « Générer » pour obtenir un énoncé.
7. Entraînements
Mini‑exercices
Mettre sous forme canonique: $3x^2-12x+5$.
Donner le signe de $g(x)=-x^2+2x+8$.
Résoudre: $x^2-6x+8\ge0$.
Canonique — entraînement guidé
Q1
Pour $f(x)=2x^2-20x+10$, écrire $f$ sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
Réponse attendue: 2(x-5)^2-40
Variations — TD rapides
H
$h(x)=4x^2+2x+1$. Sommet ? variations ? $h$ s'annule-t-elle ?
Correction
$a=4>0$, $\alpha=-\tfrac{b}{2a}=-\tfrac{2}{8}=-\tfrac14$,
$\beta=h(\alpha)=4(\tfrac{1}{16})+2(-\tfrac14)+1=\tfrac14-\tfrac12+1=\tfrac34$.
Donc minimum $\tfrac34$ en $\alpha=-\tfrac14$; décroît puis croît; $\Delta=2^2-4\cdot4\cdot1=-12<0$
donc aucune racine.
G
$g(x)=-4x^2+4x-1$. $a<0$ donc croît puis décroît. $\Delta=16-16=0$, racine double $x=\tfrac12$.
Applications — bénéfice (modélisation)
Eco
$f(x)=-2x^2+5x-2$ sur $[0,3]$ (x en centaines). Forme canonique
$f(x)=-2(x-\tfrac{5}{4})^2+\tfrac{9}{8}$. Bénéfice max $\tfrac{9}{8}$ pour $x=\tfrac{5}{4}$ (125
objets). $f>0$ quand $x\in(\tfrac{5-\sqrt{1}}{4},\tfrac{5+\sqrt{1}}{4})=(1,\tfrac{3}{2})$.
Équations / Inéquations (sélection)
Résoudre $-2x^2+x-1=0$; $\Delta=1-(-8)=9$, $x\in\{1,\tfrac12\}$ après division par $-2$ et calcul
classique.
Résoudre $x(8-x)+1=0 \iff -x^2+8x+1=0$.
Inéquation $x^2-0{,}4x+0{,}04\le0$: racine double $x=0{,}2$, donc $\le0$ uniquement en $x=0{,}2$.