Calcul littéral — Exercices + Méthodologie Rappels de seconde

Auteur : Alaeddine Ben Rhouma — Lycée Pierre Mendès France, Tunis • © 2025

Fiche de rappels strictement au programme de Seconde (aucune notion de Première)

Sommaire par difficulté

Développer & réduire

Série — Développement (sélection)
1
$ (3x-1)(2x+4) - (x+2)(4x-5) $
Correction $ (3x-1)(2x+4)=6x^2+12x-2x-4=6x^2+10x-4 $.
$ (x+2)(4x-5)=4x^2-5x+8x-10=4x^2+3x-10 $.
Différence: $(6x^2+10x-4)-(4x^2+3x-10)=2x^2+7x+6$.
2
$ (7x+3)^2 - (3x-2)^2 $
Correction Forme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$a=7x+3,\ b=3x-2$. Alors $a-b=4x+5$, $a+b=10x+1$.
Résultat: $(4x+5)(10x+1)=40x^2+54x+5$.
3
$ (5x-1)^2 - 4 $
Correction $a=5x-1,\ 4=2^2$. $a^2-2^2=(a-2)(a+2)=(5x-3)(5x+1)$.
4
$ 4(3x-4)^2 - 3(x-5)^2 $
Correction Écrire sous forme $A^2-B^2$ : $[2(3x-4)]^2-[\sqrt{3}(x-5)]^2$.
Donc $(2(3x-4)-\sqrt{3}(x-5))(2(3x-4)+\sqrt{3}(x-5))$.
Remarque: on peut aussi développer/réduire si l'on préfère éviter les racines.

Factoriser

Série — Factorisation (sélection)
1
$ (3x-1)(2x+4)-(3x-1)(4x-5) $
Correction Mise en évidence $(3x-1)$: $(3x-1)\big[(2x+4)-(4x-5)\big]=(3x-1)(-2x+9)$.
2
$ 9x^2-1+(3x-1)(5x+3) $
Correction $9x^2-1=(3x-1)(3x+1)$. Donc $ (3x-1)(3x+1+5x+3)=(3x-1)(8x+4)=4(3x-1)(2x+1)$.
3
$ (7x+3)^2-(3x-2)^2$
Correction Différence de deux carrés: $(4x+5)(10x+1)$.
4
$ (5x-1)^2-4=(5x-3)(5x+1)$.
5
$ 4(3x-4)^2-9(x-5)^2 = \big(2(3x-4)-3(x-5)\big)\big(2(3x-4)+3(x-5)\big)$.
6
$ (x-4)^2-9=(x-7)(x-1)$.
7
$ (x+1)^2-2=(x+1-\sqrt2)(x+1+\sqrt2)$ (sur $\R$).
8
$ 9(x-6)^2+16$ n'est pas factorisable sur $\R$ (somme de deux carrés non nuls).
Factorisations sans discriminant (rappels de seconde)
1
Reconnaître un carré parfait: $x^2+6x+9=(x+3)^2$.
2
Différence de deux carrés: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
3
Mise en évidence: $(3x-1)(2x+4)-(3x-1)(4x-5)=(3x-1)(-2x+9)$.
4
Cas simple factorisable à coefficients entiers: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$.

Remarque: pas d'usage du discriminant en rappels de seconde; on se limite aux identités remarquables et aux factorisations évidentes.

Équations (produit, carrés, divers)

A. Équations-produit (se ramener à un produit nul)
1
$(3x+1)(5x-3)=0$
Correction $3x+1=0 \Rightarrow x=-\tfrac13$ ; $5x-3=0 \Rightarrow x=\tfrac35$.
Solution: $\{-\tfrac13,\tfrac35\}$.
2
$(3-x)(4-x)(10-x)=0$
Correction $3-x=0\Rightarrow x=3$ ; $4-x=0\Rightarrow x=4$ ; $10-x=0\Rightarrow x=10$.
Solution: $\{3,4,10\}$.
3
$(x+\tfrac13)^2 = 4\,(x-\tfrac13)^2$
Correction Écrire $4(x-\tfrac13)^2=[2(x-\tfrac13)]^2$ et utiliser $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(x+\tfrac13)^2 - [2(x-\tfrac13)]^2 = \big(x+\tfrac13 - 2(x-\tfrac13)\big)\,\big(x+\tfrac13 + 2(x-\tfrac13)\big)=0$.
Facteurs: $1-x$ et $3x-\tfrac13$. Donc $x=1$ ou $x=\tfrac{1}{9}$.
4
$-x(5-x)+3(x-5)^2=x^2-25$
Correction Développer à gauche: $-5x+x^2+3(x^2-10x+25)=4x^2-35x+75$.
Égaliser à droite: $4x^2-35x+75=x^2-25 \Rightarrow 3x^2-35x+100=0$.
$\Delta=35^2-4\cdot3\cdot100=25$; solutions $x=\dfrac{35\pm5}{6}\in\{5,\tfrac{20}{3}\}$.
5
$(x+1)(x+2)-(x+1)(x+5)=0$
Correction Mise en évidence $(x+1)$: $(x+1)\big[(x+2)-(x+5)\big]=(x+1)(-3)=0 \Rightarrow x=-1$.
B. Carrés (équations quadratiques simples)
1
$3x^2-1=0$
Correction $x^2=\tfrac13 \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}$.
2
$0{,}04x^2=1$
Correction $x^2=25 \Rightarrow x=\pm5$.
3
$7x^2=\tfrac{1}{15}$
Correction $x^2=\tfrac{1}{105} \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{105}}$.
4
$(x+1)^2+(x-1)^2=6$
Correction $x^2+2x+1+x^2-2x+1=6 \Rightarrow 2x^2+2=6 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2$.
C. Divers (exemples de la série)
1
$2(4x-3)+4(1-2x)=2(3x+7)-4(2x+5)$
Correction G: $8x-6+4-8x=-2$ ; D: $6x+14-8x-20=-2x-6$. Égalité $-2=-2x-6 \Rightarrow -2x=4 \Rightarrow x=-2$.
2
$\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{2-3x}{12}=\dfrac{3-x}{8}$
Correction PPCM $24$. $8(2x+1)-2(2-3x)=3(3-x)$ \Rightarrow $16x+8-4+6x=9-3x$ \Rightarrow $22x+4=9-3x$ \Rightarrow $25x=5$ \Rightarrow $x=\tfrac15$.
D. Équations avec fractions
1
$\dfrac{2x+1}{3}-1=\dfrac{2-3x}{2}$
Correction Multiplier par $6$: $2(2x+1)-6=3(2-3x)$ $\Rightarrow$ $4x-4=6-9x$ $\Rightarrow$ $13x=10$ $\Rightarrow$ $x=\tfrac{10}{13}$.
2
$\dfrac{3x-5}{8}-\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{3-x}{12}$
Correction Multiplier par $24$: $3(3x-5)-8(2x-1)=2(3-x)$ $\Rightarrow$ $9x-15-16x+8=6-2x$ $\Rightarrow$ $-7x-7=6-2x$ $\Rightarrow$ $-5x=13$ $\Rightarrow$ $x=-\tfrac{13}{5}$.
3
$\dfrac{3x-1}{2}+\dfrac{2x+1}{3}=2x+\dfrac{x-1}{6}$
Correction Multiplier par $6$: $3(3x-1)+2(2x+1)=12x+(x-1)$ $\Rightarrow$ $13x-1=13x-1$ (identité). Solution: $\R$.
E. Équations supplémentaires
1
$(2x-4)(x+1)-(4x-8)(2x+3)=0$
Correction Factoriser $(2x-4)=2(x-2)$ et $(4x-8)=4(x-2)$. Mise en évidence $(x-2)$: $(x-2)[2(x+1)-4(2x+3)]=-(3x+5)(x-2)$.\nSolutions: $x=2$ ou $x=-\tfrac{5}{3}$.
2
$(7x-4)^2-2(4-7x)(3x+2)=0$
Correction $4-7x=-(7x-4)$ $\Rightarrow$ $(7x-4)[(7x-4)+2(3x+2)]=(7x-4)(13x)=0$. Solutions: $x=\tfrac{4}{7}$ ou $x=0$.
3
$4(x+3)^2-9(x-1)^2=0$
Correction Différence de carrés: $[2(x+3)-3(x-1)]\,[2(x+3)+3(x-1)]=(-x+9)(5x+3)=0$. Solutions: $x=9$ ou $x=-\tfrac{3}{5}$.
4
$4x^2=3$
Correction $x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
5
$(4x^2-1)^2-9(2x+1)^2=0$
Correction Poser $A=4x^2-1$, $B=3(2x+1)$. $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.
$A-B=4x^2-1-6x-3=2(2x+1)(x-2)$ ; $A+B=4x^2-1+6x+3=2(2x+1)(x+1)$.
Solutions: $x\in\{-\tfrac12,\,2,\,-1\}$ (avec multiplicité pour $-\tfrac12$).

Inéquations

A. Produits/Polynômes
1
$(3x+1)(-2x+5)\le0$
Correction Zéros: $x=-\tfrac13$ et $x=\tfrac52$. Tableau de signes (coefficients opposés). Solution: $[-\tfrac13,\tfrac52]$.
2
$(x-2)(3x+5)(3-7x)<0$
Correction Zéros: $2, -\tfrac53, \tfrac{3}{7}$. Ordre: $-\tfrac53 < \tfrac{3}{7} < 2$. Produits alternent de signe: solution=réunion des intervalles où le signe est négatif.
3
$(x+3)^2-(x-1)^2\le0$
Correction $[(x+3)-(x-1)][(x+3)+(x-1)]=(4)(2x+2)=8(x+1)\le0 \Rightarrow x\le-1$.
4
$(3x+2)^2-(x-1)^2\le0$
Correction $(3x+2-(x-1))(3x+2+(x-1))=(2x+3)(4x+1)\le0 \Rightarrow x\in\left[-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{4}\right]$.
5
$(5x+1)^2+9\le0$ — aucune solution (toujours $>0$).
6
$(3x^2+1)(9-2x)>0$
Correction $3x^2+1>0$ pour tout $x$ ; inégalité équivalente à $9-2x>0$ donc $x<\tfrac{9}{2}$.
B. Quotients
1
$\dfrac{x-1}{x+1} > 2$
Correction $\dfrac{x-1}{x+1}-2>0 \iff \dfrac{x-1-2x-2}{x+1}>0 \iff \dfrac{-x-3}{x+1}>0$. Zéros: $x=-3$ ; interdit: $x\ne-1$. Tableau de signes: solution $(-3,-1)$.
2
$\dfrac{3x-2}{5-3x}\ge 1$
Correction $\dfrac{3x-2}{5-3x}-1\ge0 \iff \dfrac{3x-2-(5-3x)}{5-3x}=\dfrac{6x-7}{5-3x}\ge0$. Zéros: $x=\tfrac{7}{6}$ ; interdit: $x\ne \tfrac{5}{3}$. Tableau de signes.
3
$\dfrac{2x+1}{x+2} > x$
Correction $\dfrac{2x+1}{x+2}-x>0 \iff \dfrac{1-x^2}{x+2}>0 \iff \dfrac{(1-x)(1+x)}{x+2}<0$. Points critiques: $-2,-1,1$. Solution: $]-\infty;-2[\cup]-1;1[$.
4
$\dfrac{5x+3}{3x+5} \\le \\dfrac{3x+5}{5x+3}$
Correction Étudier $\dfrac{(5x+3)^2-(3x+5)^2}{(3x+5)(5x+3)}\le0$. Numérateur $=16(x-1)(x+1)$.\nSolution: $(-\tfrac{5}{3},-1]\cup(-\tfrac{3}{5},1]$ (domaines exclus : $x\ne-\tfrac{5}{3},-\tfrac{3}{5}$).
5
$\dfrac{7x-2}{4x^2-1}\\le0$
Correction Points: $x=\tfrac{2}{7}$, $x=\pm\tfrac{1}{2}$ (interdits pour le dénominateur). Solution: $(-\infty,-\tfrac12)\cup[\tfrac{2}{7},\tfrac12)$.
6
$\\dfrac{4x^3-9x}{x^2-16}\\ge0$
Correction $\dfrac{x(2x-3)(2x+3)}{(x-4)(x+4)}\ge0$. Solution: $]-4;-\tfrac{3}{2}]\cup\{0\}\cup\{\tfrac{3}{2}\}\cup]4;+\infty[$.

Domaine de définition

Domaines (sélection)
1
$f(x)=\dfrac{1}{x}+x$
Correction Interdire $x=0$. Domaine: $\R\setminus\{0\}$.
2
$f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$
Correction Interdire $x=\pm1$. Domaine: $\R\setminus\{-1,1\}$.
3
$f(x)=\dfrac{3x+7}{1-x}$
Correction Interdire $x=1$. Domaine: $\R\setminus\{1\}$.
4
$f(x)=\dfrac{1-x}{\sqrt{x-1}}$
Correction Exiger $x-1>0$ (dénominateur non nul et réel): $x>1$. Domaine: $]1;+\infty[$.
5
$f(x)=\sqrt{x^2-10x+21}$
Correction $(x-3)(x-7)\ge0 \Rightarrow x\le3$ ou $x\ge7$. Domaine: $]-\infty;3] \cup [7;+\infty[$.
6
$f(x)=\sqrt{\dfrac{2-x}{x+5}}$
Correction Exiger $\dfrac{2-x}{x+5}\ge0$ et $x\ne-5$. Zéros/points interdits: $x=2$ (numérateur), $x=-5$ (dénominateur). Tableau de signes: $]-\infty;-5[\cup[2;+\infty[$.

Fiche méthodologie — Calcul littéral

Méthodes rapides — Inéquations (tableaux de signes)
1
Produit $(x-a)(x-b)$ avec $a <b$. Zéros $a,b$. Le signe alterne entre chaque zéro (en partant du signe du coefficient dominant).
x (-∞,a) a (a,b) b (b,+∞)
(x-a)(x-b) + 0 − 0 +
2
Quotient $\dfrac{U(x)}{V(x)}$: zéros de $U$, zéros interdits de $V$; alterner le signe par intervalles délimités par ces points. Inclure/exclure selon $\le/\ge$ ou $</>$ et selon $V\ne0$.
3
Carré $W(x)^2\ge0$: toujours vrai. $W(x)^2\le0$: équivaut à $W(x)=0$.